 | | CÁLCULO
INFINITESIMAL |
“El cálculo infinitesimal es el arte de numerar y medir exactamente una cosa cuya existencia no puede ser concebida” (Voltaire)
“El cálculo es la historia que este mundo se dijo cuando se convirtió en el mundo moderno” (David Berlinski)
“El cálculo requiere continuidad, y la continuidad se supone que requiere lo infinitamente pequeño; pero nadie pudo descubrir lo que puede ser infinitamente pequeño” (Bertrand Russell)
Infinitésimos
El infinitésimo (ε) −como hemos indicado en el capítulo anterior− no es un número concreto. Es un número cualitativo. La cualidad es la de ser un número infinitamente pequeño. Al no ser un número concreto, no es expresable. Solo podemos expresar su comportamiento a nivel superficial, que viene dado mediante la expresión imaginaria nilpotente ε2 = 0. Por lo tanto, ε es un número imaginario.
La expresión ε2 = 0 no es una ecuación, es una sustitución, es decir en una expresión donde aparezca ε2, se sustituye por cero.
También hemos visto que hay infinitos infinitésimos, los de la forma rε, siendo r un número real, pues cumplen que (rε)2 = 0. Hay un infinitésimo principal (ε) e infinitos infinitésimos secundarios (rε).
Cálculo Diferencial e Integral
El cálculo infinitesimal se basa en cálculos en los que están presente los infinitésimos. Su aplicación principal ha sido el cálculo diferencial e integral.
El cálculo diferencial e integral −también llamado simplemente “cálculo”− es un cálculo con infinitésimos asociados a expresiones en general. El cálculo aplicado a funciones se denomina “análisis”, el estudio de las funciones.
Los infinitésimos aparecen en las derivadas (pendiente de la tangente a una curva en un punto sobre los ejes cartesianos) en forma de cociente de infinitesimales (Δy/Δx) y en el cálculo del área subyacente a una curva como la suma de infinitos infinitesimales (suma de rect⟨ngulos de anchura infinitesimal).
Ha habido una larga controversia sobre quien fue el creador del cálculo. Newton lo desarrolló en los a⟩os 1665 y 1666. Leibniz lo hizo más tarde, entre 1673 y 1676, pero fue el primero en publicar sus resultados en 1684. Newton publicó sus investigaciones en 1704.
Hoy día se admite que Newton y Leibniz llegaron de manera independiente a los mismos conceptos y a los mismos resultados. Newton y Leibniz demostraron que los problemas del área y la tangente eran inversos, lo que se conoce como “teorema fundamental del cálculo”.
Newton estudió en primer lugar las derivadas y posteriormente la integración. Para él, las funciones eran “fluentes” y las derivadas las denominó “fluxiones” y el cálculo lo denominó “cálculo de fluxiones”.
Newton aplicó el cálculo a los fenómenos físicos, especialmente la gravitación universal. Descubrió que con su cálculo de las tangentes se podían expresar: velocidades instant⟨neas (de un objeto que se movía según una trayectoria conocida), radios de curvatura en cualquier punto de la curva, así como m⟨ximos, mínimos y puntos de inflexión. La notación que utilizó era un una comilla a la derecha del nombre de la función. Si la función es y = f(x), su derivada se denota como y' = f'(x), y su segunda derivada y'' = f''(x).
Leibniz empezó a estudiar la integración para llegar al concepto de derivada. Introdujo el término “diferencia” para referirse a la variación infinitesimal de una cantidad, y es lo que hoy denominamos “diferencial”. Dio nombre a la nueva disciplina: el cálculo diferencial e integral. Su notación era más intuitiva y expresiva que la de Newton y es la que finalmente se adoptó, aunque a veces se se usa la de Newton por ser más simple y compacta. Con dx (diferencial de x) indicaba un cambio infinitesimal en la variable x. La derivada era dy/dx. La integral era ∫f(x)·dx. El símbolo ∫ indica suma continua (∑ indica suma discreta).
Leibniz solo investigó el cálculo a nivel teórico. Estableció un conjunto de reglas para manipular las cantidades infinitesimales. Descubrió varias propiedades, entre ellas la regla del producto (derivada del producto de dos funciones) y la regla de la cadena (derivada de la composición de dos funciones). Estas reglas se pueden expresar de manera simplificada (con la notación de Newton) así:
(f · g)' = f'·g + f·g' (derivada del producto de dos funciones)
(g • f)' = g' (f) · f' (derivada de la composición de dos funciones)
Esta última expresión también se puede expresar así: (g(f))' = g' (f) · f'
El descubrimiento del cálculo por parte de Newton fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca controversias sobre quién de los dos fue el primero. Newton utilizó el cálculo en física en su obra “Principios Matem⟨ticos de Filosofía Natural”, una de las obras más famosas e influyentes de todos los tiempos.
El teorema fundamental del cálculo establece que la derivada y la integral son operaciones inversas:
Si la derivada de F(x) es f(x), es decir, dF(x)/dx = f(x), entonces
F(x) = ∫f(x)·dx (integral indefinida)
∫ab f(x)·dx = F(b)−F(a) (integral definida)
Newton y Leibniz inventaron el cálculo sin un fundamento formal riguroso. En el siglo XIX, los matem⟨ticos sustituyeron esas vaguedades por definiciones formales. Bolzano y Cauchy definieron con precisión el concepto de límite. Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weirstrass con los números reales. Fue el periodo de la fundamentación del cálculo.
Para formalizar el concepto de derivada se introdujo el concepto de límite:
dy/dx = límite de (Δy/Δx) cuando Δx tiende a cero
Pero el concepto de límite es puramente descriptivo. No es operativo, no aporta un procedimiento para su cálculo (el paso al límite). Esta definición sigue tan difusa como la de infinitésimo con la única diferencia de que hay una función intermediaria.
En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, causaban confusión y duda sobre sus fundamentos. De hecho, la noción de límite, central en el estudio del cálculo, era aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus críticos más notables fue George Berkeley.
El cálculo diferencial e integral tuvo sus precedentes con los antiguos griegos. Eudoxo (discípulo de Platón) calculó áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de partes. Arquímedes inventó un método heurístico general (informal e intuitivo) muy próximo conceptualmente al cálculo infinitesimal para calcular superficies y volúmenes. Se puede afirmar que el cálculo infinitesimal fue fundado por Arquímedes.
El cálculo diferencial e integral es muy importante en la matemática moderna y está asociado con la matemática continua. Con el cálculo aparecieron las ecuaciones diferenciales, lo que supuso un cambio cualitativo, pues permitió formalizar dominios en los que intervienen variables continuas interrelacionadas.
El análisis diferencial suave (smooth infinitesimal analysis) es una reformulación rigurosa del análisis en términos de los infinitesimales. Se basa en las ideas de F.W. Lawvere y emplea los métodos de la teoría de categorías. Considera que todas las funciones continuas se pueden expresar mediante cantidades discretas. Como teoría es un subdominio del cálculo diferencial sintético, que se basa en el ⟨lgebra de elementos nilpotentes y que sustituyen a los procesos de paso al límite.
En el análisis diferencial suave (y el cálculo diferencial sintético en general) se interpreta la expresión ε2 = 0 de manera errónea. Se interpreta como una ecuación que rompe el principio lógico del tercero excluido. Por ejemplo “no a≠b” no implica a = b. En este caso, ε2 = 0 no implica ε = 0. La interpretación correcta es que se trata simplemente de una sustitución, no de una ecuación. Y no tiene nada que ver con el principio del tercero excluido.
No es necesario apelar a la teoría de categorías, pues esta teoría es muy compleja. Hay que fundamentar todo sobre la máxima simplicidad posible.
Como conclusión, el cálculo infinitesimal va más all⟨ del cálculo diferencial e integral. El concepto de infinitésimo definido como expresión imaginaria es genérico y es muy importante, pues tiene aplicaciones en los campos de la matemática donde aparecen los números reales.
El cálculo en MENTAL
Notación
La notación que hemos elegido se aproxima a la estándar, la de Leibniz. pero se puede utilizar cualquier otra. El lenguaje está abierto, pero tiene que ser lógicamente de tipo lineal (unidimensional),
- Derivada de la función f:
δf÷δx
- Integral indefinida de la función f:
∫f*δx
- Integral definida de la función f entre a y b:
(∫f*δx)/(x = a_b)
(a_b indica rango continuo entre a y b)
El teorema fundamental del cálculo es:
- Integral indefinida:
⟨( (δF÷δx = f) ↔ (F = ∫f*δx) )⟩
- Integral definida:
⟨( (F(t) = ∫f*δx)/(x = 0_t) )⟩
⟨( ∫f*δx)/(x = a_b) = (F(b) − F(a)) )⟩
Cálculo automático de derivadas
Es posible suministrar un método algebraico para calcular derivadas de manera autom⟨tica sin necesidad de usar límites. Su expresión es muy sencilla: f'(x) = (f(x+ε) − f(x))/ε, y asumiendo que ε2 = 0. Formalmente en MENTAL:
(ε*ε = 0)
⟨( δf÷δx = (f/(x° = x+ε) – f)÷ε) )⟩
Por ejemplo, si f(x) = x3, se tiene:
(f(x+ε) − f(x))/ε = ((x+ε)3 − x3) /ε = (ε3 + 3x2ε + 3xε2)/ ε = (3x2ε)/ε = 3x2
En MENTAL,
δ(x^3)÷δx // ev. 2*(x^2)
En general,
⟨( δ(x^n)÷δx = n*(x^(n−1)) )⟩
Fermat utilizó el procedimiento de calcular (f(x+ε) − f(x))/ε, y posteriormente hacer ε=0. En el ejemplo, anterior, (ε3 + 3x2ε + 3xε2)/ε = (ε2 + 3x2 + 3xε), que se convierte en 3x2.
Derivadas e integrales de orden superior
Se definen de manera recursiva. Llamando (D n f x) a la derivada de orden n de la función f respectp a x, tenemos:
⟨( (D n f x) = ( δ((D n−1 f x)¸δx ←n>1 →' δf÷δx ) )⟩
Análogamente para la integral de orden n, sustituyendo δ por ∫, y ÷δx por *δx,
⟨( (I n f x) = (∫((D n−1 f x)*δx ← n>1 →' ∫f*δx ) )⟩
Ejemplos:
(D 1 x^n x) // ev. n*(x^(n−1))
(D 2 x^n x) // ev. n*(n−1)(x^(n−2))
(D 3 x^n x) // ev. n*(n−1)*(n−2)(x^(n−3))
(D n x^n x) // ev. n*…*1 (factorial de n)
(I 1 x^n x) // ev. (x^(n+1))÷(n+1)
(I 2 x^n x) // ev. (x^(n+2))÷(n+1)÷(n+2)
(I 3 x^n x) // ev. (x^(n+3))÷(n+1)÷(n+2)÷(n+3)
(I n x^n x) // ev. (x^(n+n))÷((n+1)÷…÷(n+n))
Observaciones
- Tanto la derivada como la integral son siempre relativas (“parciales”, en la terminología clásica). Por ejemplo,
(z = (x^2 + y^3))
δz÷δx // ev. 2*x
δz÷δy // ev. 3*(y^2)
- Para pasar la notación de derivada a la de integral, se sustituye el primer
δ por ∫ y la división ÷ por el producto *: δf÷δx → ∫f*δx
- La derivada está definida a la derecha. También se podría definir hacia la izquierda mediante la expresión
(f(x) − f(x−ε)) en lugar de (f(x+ε) − f(x)). Ambas derivadas se podrían generalizar introduciendo un nuevo parámetro λ. La expresión sería (f(x+λ) − f(x+λ−ε)), con λ=ε para la derivada a la derecha y λ=0 para la derivada a la izquierda.
- Desde el punto de vista del análisis dimensional, la derivada de una función reduce en 1 la dimensión de la función, y la integral la aumenta en 1. Por ejemplo, la derivada de
x^n es n·x^(n−1), y la integral de x^n es (x^(n+1))/(n+1). La dimensión del diferencial de una variable o función es la misma, puesto que se trata de una resta.
Propiedades
⟨( δr¸δx = 0) )⟩ // la derivada de una constante es cero
⟨( δ(r*f)¸δx = r*δf¸δx )⟩ // derivada de factor por función
⟨( (∫(r*δx) = r*x) )⟩
⟨( δx*δx = 0 )⟩ // el diferencial se comporta como un infinitésimo
⟨( δx¸δx = 1 )⟩ // la autoderivada es uno
⟨( (δ(f+g)¸δx) = δf¸δx + δg¸δx )⟩ // derivada de la suma
⟨( δ(f*g)¸δx = f*δg¸δx + g*δf¸δx )⟩ // derivada del producto
⟨( δ(x^n)¸δx = n*(x^(n−1))*δx )⟩ // derivada de una potencia
⟨( δ(f÷g)¸δx = (g*δf – f*δg)¸(g^2) )⟩ // diferencial del cociente
⟨( δ(f(g))¸δx = (δg(f)¸δx)*(δf¸δx )⟩ // regla de la cadena
Bibliografía
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